Chapter 1 1.2 旋转大气运动的基本方程
1.2 四大定律
1.2.1 牛顿第二定律
\[ (\frac{d V_a}{d t})_{a}=\vec{g}_{m} -\frac{1}{\rho}\nabla p_{a} + \vec{F}_{a} \]
\(\vec{g}_{m}\)：重力
\(-\frac{1}{\rho}\nabla p_{a}\)：气压梯度力
\(\vec{F}_{a}\)：摩擦力，\(\vec{F}_{a} \equiv \gamma \nabla^{2} \vec{V}_{a}+\frac{\gamma}{3} \nabla\left(\nabla \cdot \vec{V}_{a}\right)\)
1.2.2 质量守恒定律
\[ \left(\frac{\partial \rho}{\partial t}\right)_{a}+(\nabla \cdot \rho \vec{V}_a)_{a}=0 \]
- 拉格朗日观点：以移动的体积元为研究对象
\[ (\frac{d \rho}{\partial t})_{a}+\rho \nabla \cdot \vec{V}_{a}=0 \]
- 欧拉观点：以固定空间为研究对象
\[ \left(\frac{\partial \rho}{\partial t}\right)_{a}+(\nabla \cdot \rho \vec{V}_a)_{a}=0 \]
拉格朗日观点和欧拉观点是同一事物的两种不同描述。证明：
\[
\begin{align}
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot (\rho \vec{V}) &=0 \\\\
(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{V} \nabla \cdot \rho) + \rho \nabla\cdot\vec{V} &=0 \notag \\\\
\frac{d \rho}{\partial t} +\rho \nabla \cdot \vec{V} &=0 \notag
\end{align}
\]
其中，\(\nabla\cdot\)：是求梯度的符号
详细证明过程见 葛朝霞, 2013, 章节4.7, P103