Chapter 2 大气热力学

2.1 理想气体定律

\[ p=\rho R T \\ p \alpha =R T \]

$R$：为比气体常数（$J · g^{-1}K^{-1}$），$R=R^*/M$。$R^*$为摩尔气体常数，$R^*=8.314 J · mol ^{-1}K^{-1}$；$M$的气体相对分子质量($g ·mol^{-1}$)；$\alpha$为比容，单位质量气体具有的体积。对于干空气，$Rd = R^* / M_d = 8.314 / 28.97 = 0.287\;(J ·g^{-1}K^{-1})$ \[ \alpha dp+pd\alpha=RdT \]

2.2 热力学第一定律

热力学第一定律：对系统施加的热量等于系统的内能变化和对系统对外做功之和。

对式6，两边同时求微分，可得： \[ dQ = C_v dT + p d\alpha \\ \dot{Q} = C_{v} \frac{d T}{d t} + p \frac{d \alpha}{d t} \]

距离或者体积$\alpha$不变，则不存在做功，因此上式不包含 $\alpha dp$。

2.2.1 定容与定压比热容

定容($d \alpha = 0$)，热量全部转化为内能，$dQ = C_v dT$；
定压($d p = 0$)，一部分能量对外做功。此时： \[ \begin{align} dQ &= C_v dT + p d\alpha \\ &= C_v dT + RdT - \alpha dp \notag, (dp=0) \\ &= C_v dT + RdT \notag \\ &= C_p dT \notag \end{align} \]

因此$C_p = C_v + R$。

其中，$C_{v}$、$C_p$分为定容、定压比热容，对于干空气，$C_{v}=0.716 J ·g^{-1} K^{-1}$、$C_p=1.005 J ·g^{-1} K^{-1}$。

2.3 绝热过程

2.3.1 干空气

在dp不为0情况下，将$\alpha=\frac{RT}{p}$带入： \[ \begin{align} dQ &= C_v dT + p d\alpha \\ &= C_v dT + RdT - \alpha dp \notag \\ &= C_p dT - \alpha dp \notag \\ &= C_p dT - \frac{RT}{p}dp \notag \end{align} \]

即： \[ dQ= C_p dT - \frac{RT}{p}dp \\ \]

2.3.1.1 干绝热过程

$$ C_p dT = dp, dT = dp \ C_p {T} = R {p} \

C_p {T{0}}^{T} ={p{0}}^{p} R \ ln = ln ( [] ^{R/C_p}) $$

因此可得： \[ T = T_0 * (\frac{p}{p_0}) ^{R/C_p} \] 上式等价于： \[ T_0 = T * (\frac{p_0}{p}) ^{R/C_p} \] 定义1000hpa处的温度为位温$\theta$，则 \[ \theta = T * (\frac{p_0}{p}) ^{R/C_p} \\ = T * (\frac{1000}{p}) ^ {0.288} \]

2.3.1.2 干绝热直减率

直减率$\gamma$：每上升单位距离，下降的温度，$-dT/dz$（加负号保证直减率为正）。

准静力学条件下，气块垂直运动过程中，其气压与其周围大气气压相同$(p = - \rho g z + p_0)$。 \[ C_p dT = \frac{RT}{p}dp \\ dT = \frac{RT}{C_p p}dp \\ \] 将$(p = - \rho g z + p_0)$带入： $$ \[\begin{align} dT &= \frac{RT}{C_p p}dp \\ &= - \frac{RT}{C_p p} \rho g dz, (\rho = \frac{p}{R T}) \\ &= - \frac{g}{C_p} dz \\ \gamma_d &= \frac{g}{C_p} = 0.981 / 1.005 ≈ 0.98 K /100m \end{align}\] $$

上式，需要把$C_p$转化为$J\;kg^{-1} K^{-1}$

2.3.2 湿空气

与干空气相比，湿空气多了凝结释放的潜热。

气化潜热：单位质量的液体，气化所需要的热量；用符号$\lambda$表示。随温度变化而变化，但变化幅度不大，因此有时认为$\lambda$为常数。

凝结潜热: 单位质量的气体，凝结所释放的热量。

气化与凝结互为反过程。

气化潜热的公式如下： \[ \lambda =2499.5-2.39T, \;(J·g^{-1}) \]

湿空气达到饱和后，有部分水汽会发生凝结。凝结过程中，水汽含量下降，$d{q_s}<0$，因此乘以$-\lambda$表示释放的能量。

\[ \begin{align} dQ - \lambda d{q_s} &= C_p dT - \frac{RT}{p}dp \end{align} \]

2.3.2.1 湿绝热过程

真实大气上升过程分为两部分：

水汽饱和之前：沿干绝热过程移动
水汽饱和之后：沿湿绝热过程移动

\[ \begin{align} ln \theta &= ln T + \frac{R}{C_p} ln(\frac{p_0}{p}) \\ &= ln T - \frac{R}{C_p} ln p + \frac{R}{C_p} ln(p_0) \\ &= ln T - \frac{R}{C_p} ln p + const \end{align} \]

根据上式可以得到： \[ d {ln(\theta)} = \frac{d\theta}\theta = C_p \frac{dT}{T} - \frac{R}{C_p} \frac{dp}{p} \]

2.3.2.1.1 推导方法1

\[ - \lambda d{q_s} = C_p dT - \frac{RT}{p}dp \\ - \frac{\lambda d{q_s}}{T} = C_p \frac{dT}{T} - R\frac{dp}{p} \\ - \frac{\lambda d{q_s}}{C_p T} = \frac{d\theta}\theta \\ ln (\theta / \theta_0) = - \frac{\lambda (q - q_0)}{C_p T} \\ \theta = \theta_0 e ^{- \frac{\lambda (q - q_0)}{C_p T}} \]

地表1000hPa处的温度，定义为位温；不论地表是否饱和、还是非饱和。

湿绝热的位温$\theta_e$来表示， \[ \theta_e=T (\frac{p_{0}}{1000} )^{\frac{R}{c_{p}}} e^{\frac{-\lambda (q-q_{0} )}{c_{p}}} = \theta e^{\frac{-\lambda(q-q_{0})}{c_{p}}} \]

假相当位温：

2.3.2.1.2 推导方法2

\[ - \lambda d{q_s} = C_p dT - \frac{RT}{p}dp \\ - \frac{\lambda d{q_s}} {C_p T} = \frac{dT} {T} - \frac{R}{C_p p}dp \\ \]

从地表$(T_0, P_0, q_0)$到大气某一高程$(T, P, q_s)$的过程，进行积分：

q随温度会发生变化。q_s和温度有关系，但是和气压无关系。

上述积分的假设：

$q_s$的变化速率远大于$T$或 $\lambda$的变化速率。

For a saturated parcel undergoing pseudoadiabatic ascent, the rate of change in $q_s$ following the motion is much larger than the rate of change in $T$ or $\lambda$. (James R. Holton, 2013).

2.3.2.2 湿绝热直减率

\[ - \frac{dT}{dz} = \frac{g}{c_p} + \frac{L}{c_p} \frac{d q_s}{dz} \] > 详细证明过程见：葛朝霞, 2013, 章节3.3.2.2, P66

结论：

湿绝热过程中，水汽下降，释放潜热，温度下降慢；因此$\gamma_s < \gamma_d$。

2.4 热力图的应用（重点）

2.4.1 $T-lnp$图

q与P, 和T的关系 > 上述推导来源于：大气系赵树云老师

\[ d (lnp) | q_s = \frac{L_v}{T^2 R_v} {dT} \\ lnp | q_s = b - \frac{L_v}{R_v T} \\ % 将地表的状态量带入 ln(p)| q_s = ln p_0 + \frac{L_v}{R_v T_0} - \frac{L_v}{R_v T} \]

CUG水文气象学